ลำดับและอนุกรมคณิตศาตร์

ลำดับ คือ เอาตัวเลขมาวางเรียงกัน เช่น 1,3,5,7,9

ลำดับตัวที่ 1 เราจะเรียกว่า พจน์ที่ 1 สัญลักษณ์ a₁
ลำดับตัวที่ 2 เราจะเรียกว่า พจน์ที่ 2 สัญลักษณ์ a₂

ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n โดยมีค่าคงที่เป็นผลต่างร่วม (d)

a₁, a_2,a_3,…,a_n

a_nเรียกว่า พจน์ที่ n หรือ พจน์ทั่วไป

ลำดับจะแบ่งได้เป็น 2 แบบ

ลำดับจำกัด คือ ลำดับที่มีจำนวนพจน์จำกัด

เช่น 1,2,3 สามารถบอกได้ว่า ลำดับนี้มี 3 พจน์
1,2,3,4,5,…,100 สามารถบอกได้ว่า ลำดับนี้มี 100 พจน์ ดังนั้นจึงจัดได้ว่าเป็นลำดับจำกัด

ลำดับอนันต์ คือ ลำดับที่มีจำนวนพจน์ไม่จำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุด

1,2,3,4,5,… จากตัวอย่างนี้เราไม่สามารถบอกได้ว่าสิ้นสุดที่เท่าไหร่

สูตรของพจน์ทั่วไป หรือ พจน์ a_n

ซึ่งสูตรนี้เราจะใช้เมื่อต้องการหาว่าพจน์นั้น ๆ มีค่าเท่าใด

ตัวอย่าง

จงหา 3 พจน์แรกของ a_n= 2n+1

จากโจทย์เขาให้ a_nมา แล้วเราต้องการหาพจน์ที่ 1 ก็แทน n=1

พจน์ที่ 1 จะได้ a₁ = 2(1)+1 =3

พจน์ที่ 2 จะได้ a₂ = 2(2)+1 =5

พจน์ที่ 3 จะได้ a₃ = 2(3)+1 =7

ถ้า a_n= 5n+7 จงหาว่าพจน์ไหนมีค่าเท่ากับ 52

เราก็แทนค่าที่ a_nได้เลยจะได้

ดังนั้นพจน์ที่มีค่าเท่ากับ 52 คือพจน์ที่ 9 หรือ a₉

ลำดับเลขคณิต VS ลำดับเรขาคณิต

ลำดับเลขคณิต

ค่าของตัวเลขจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างคงที่ เช่น2, 4, 6, 8, 10 ซึ่งค่าของตัวเลขที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างคงที่นี้แรกว่า “ผลต่างร่วม” แทนด้วยสัญลักษณ์ d ซึ่ง 2, 4, 6, 8, 10 มีค่า d = 2

สูตรพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

a_n= a₁+ (n-1)d

ตัวอย่างโจทย์ลำดับเลขคณิต

a₁ = 2, d = 2 จงหา a₁₅

จะได้ 2, 4, 6, …, a₁₅

สูตร a_n = a₁+ (n-1)d

= 2+(n-1)2

= 2+2n-2

a_n = 2n

จากนั้นหา a₁₅

a₁₅= 2(15)

a₁₅= 30

ดังนั้นพจน์ที่ 15 ของลำดับเลขคณิตคือ 30

หรืออีก 1 วิธี

จาก 2, 4, 6, …, a₁₅

a_n = a₁+ (n-1)d

a₁₅= 2 + (15-1)2

a₁₅= 2 + 28

a₁₅= 30

ลำดับเรขาคณิต

ค่าตัวเลขจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงด้วยการคูณหรือหารอย่างคงที่ อย่างเช่น

5, 10, 20, 40 ตัวเลขเพิ่มขึ้นจากการ x 2 อย่างคงที่ ซึ่งเราจะเรียกผลต่างของเรขาคณิตว่า “อัตราส่วนร่วม” แทนด้วยสัญลักษณ์ r จาก 5, 10, 20, 40 มีค่า r = 2